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第一站 · 大局观
🪜 数，是一级一级「长大」的
每一级，都是因为上一级「做不到某件事」。点每一级看它的故事。
第二站 · 关键线索
🔁 分数的「胎记」：小数会循环
这是全篇最重要的一句话。把任何分数写成小数，结果要么到某位就停，要么从某位开始不停循环。反过来——一个永远不循环、也不停的小数，就绝不可能是分数。先亲眼看看。
点下面的按钮，让小数一位位吐出来…
分数 1/7 = 0.142857 142857 … 那 6 位永远循环；3/8 = 0.375 干脆停了。可 √2 和 π 一直吐、一直吐，找不到循环节——它们逃出了分数的家。
第三站 · 亲手证明
🔺 √2 为什么绝不是分数
这次不靠「看起来」，我们用一个两千年前就有的漂亮办法证给你看。招数叫「先假设它是，再逼出矛盾」。一步一步点。
这种「假设成立→推出矛盾→所以不成立」的招数，叫反证法。它是数学里最锋利的武器之一——希帕索斯两千多年前就是这样，发现了第一个无理数 √2。
第四站 · 那个最有名的无理数
🥧 π：算了两千年，也没算完
√2 我们能亲手证。π 也是无理数，但它的证明太难（要用到大学的数学），所以这一站，我们换个方式感受它。
π 是圆的周长 ÷ 直径。让一个圆滚一圈看看——
而它的小数，是这样的（点开让它流）——
3.…
人类追 π 的两千年：
约公元前250
阿基米德（古希腊）
用正多边形夹出 π 在 223/71 和
22/7 之间。
约公元 480
祖冲之（中国）
把 π 夹在
3.1415926~3.1415927，还给出密率
355/113。这个纪录领先世界约 900 年。
1761
兰伯特（德国）
第一次
证明了 π 真的是无理数——它的小数
永远不会循环。
今天
超级计算机
已经把 π 算到
一百万亿位以上，依旧
没有一丝循环。
所以：π 不是「还没算完」，而是永远算不完、也永远不循环——这正是它身为无理数的证据。祖冲之若知道后人还在追它，大概会会心一笑。
最后
🌠 好问题，比答案更远
你现在知道了 √2、π 都逃出了分数。那——无理数是不是比分数还多？0.1010010001… 这种自己造的数算无理数吗？把你的好奇写下来。